虎克定律 Hooke’s law

发布时间:2020-08-03 编辑: 查看次数:554


在介绍虎克定律(Hooke’s law)之前,先来回想一下当初学习牛顿第二定律时,我们知道当一个物体所受的外力和不为零时,该物体会产生加速度的运动,但物体受力除了会产生加速度造成运动状态改变之外,另外该物体亦可能会产生外型的改变,故力的效应可以造成物体运动状态改变和形变,若对形变现象有兴趣想深入了解,那虎克定律可作为进入研究形变的第一个功课。

基本上虎克定律是在描述:当固体材料受力之后,材料中的应力与变形量(应变)之间成线性关係。也就是一个固体的受力和它的变形量(应变)是成正比的意思。而弹簧即是日常生活中常见且符合虎克定律的範例,故将以弹簧来为大家进行虎克定律的介绍。当你施力去拉长或是压缩一条弹簧时,该弹簧便会伸长或是变短,产生简单的一维形变。在这条弹簧的弹性限度内,你施力的大小将会影响到这条弹簧的形变程度,虎克定律应用在弹簧上即描述弹力与弹簧变形量的关係。

下图一共有a、b和c三个小图,在都没超过弹簧的弹性限度之下,图一a代表的是一条原长为 $$L_0$$ 的弹簧,当我们施力 $$F_1$$ 于弹簧上达平衡时则如图一b所示总长度为 $$2L_0$$,若改为施力 $$F_2$$ 达平衡时弹簧变成如图一c所示总长度为 $$3L_0$$,这时可以问一个问题,$$F_1$$ 和 $$F_2$$ 的大小比例为何?

虎克定律 Hooke’s law

图一 (陈义裕绘)

有些朋友可能会很快地回答 $$F_1:F_2=2:3$$,又有另一群人可能会回答 $$F_1:F_2=1:2$$,如果你注意到的只是弹簧的总长度那可能就会说出 $$2:3$$ 这个答案,若你注意到的是弹簧长度的变化量,那应该就会回答 $$1:2$$ 这答案,正确的答案是后者 $$1:2$$。上个段落曾经提及虎克定律应用在弹簧上即描述弹力与弹簧变形量的关係,所以重点在于变形量,也就是伸长量。在图一的b和c弹簧的弹力和弹簧的伸长量成线性关係,即:

$$F=-k(L-L_0)$$ 或是 $$F=-kx$$

$$F$$:弹力
$$k$$:弹性係数,会因弹簧的材质与长短、粗细而异
$$L$$:弹簧总长度
$$L_0$$:弹簧原长
$$x$$:弹簧伸长量

公式中有个负号,这代表弹簧的弹力总是和其伸长量为相反方向,当你向外拉长弹簧时,弹力则是欲使弹簧往内缩,或是当你压缩弹簧时,弹力则会是往外抵抗压缩的,所以负号就是在描述这个情况。

所以我们可以画出弹簧弹力与其对应伸长量的函数图形如图二,方程式的函数图形为图二d,其中的 $$x_{max}$$ 则是弹簧的最大伸长量或是压缩量的量值。在图二a中,若以向右的方向为正值的话,弹簧受力向右伸长时其产生的弹力则向左,反之如图二c若压缩时弹簧弹力则向右,而弹力的大小和伸长量就呈现一个线性的关係可清楚于图二d中发现,而此线的斜率则因不同的弹簧而异,也就是因 $$k$$ 值的不同而异。

虎克定律 Hooke’s law

图二 (陈义裕绘)

所以有了虎克定律(Hooke’s law)的概念之后,如我们所举的範例弹簧,在弹性限度内,你自然可以清楚知道需要多少的力去将你的弹簧拉到你要的长度。而k的大小则让你明白对于不同的弹簧想伸长同样单位大小时所需的力都不同,当 $$k$$ 值越大则将越难拉长或是压缩该弹簧。如图三所示,图中的a是最难拉长或压缩的弹簧,反之c则是最容易拉长或压缩的弹簧,而 $$k$$ 值的大小排列则是 $$a>b>c$$。

虎克定律 Hooke’s law

图三 (作者提供)

必须注意的是:并不是所有的物体都满足虎克定律。但许多物体在偏离平衡状态一点点时(亦即其形变很小),确实可以将回复力近似地视为满足虎克定律,因此虎克定律有许多应用。

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