蒙提霍尔问题(一)决胜21点

发布时间:2020-08-02 编辑: 查看次数:877


在 2008 年上映的美国电影《决胜21点》中,剧中主角班 (Ben Campbell)在非线性代数的课堂上与授课教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的对话:

米奇:「假设你正参加一个游戏节目,你有机会从三扇不同的门里选一扇,其中一扇门后面有一辆新车,另外两扇门后面各有一头山羊?你要选择哪一扇门?」

班:  「一号门。」

米奇:「好!这时节目主持人,顺便一提,他知道门后的秘密,他去打开另一扇门,比方说他开了三号门,后面是一头山羊。这时节目主持人说:「班,你想要坚持选择一号门,还是换成二号门?」现在问题是–改变选择(换另一扇门)是否对你有利?」

班:  「是的」

米奇:「记住!主持人知道那辆车在哪里,你怎幺知道他不是在耍你?……」

班:  「我并不介意,因为我的答案是基于统计学,……,当一开始他让我选一扇门时,我有 \(33.3\%\) 的机率是选对的,但当他开其中一扇门时,然后又让我选时,此刻如果我选择换一扇门,选对的机率是 \(66.7\%\),……。」

上述的内容中有二项条件必须注意,参赛者三扇门中选一扇门,但他不知道门后面是新车还是山羊,可是主持人知道。再者,主持人开启剩下两扇门中的其中一扇门,一定挑有山羊的门,并且提供参赛者换门的机会。

这个题目称为「蒙提霍尔问题」( Monty Hall problem),其名称源自美国益智电视节目「我们成交吧」( Let’s Make a Deal )中的主持人蒙提‧霍尔( Monty Hall ),而三门问题正是节目中的一个游戏。

当三门只剩下两道门,选项变成二选一时,有的参赛者直觉上认为新车在两道门后的机会均等,赢得新车的机率是,不论换或不换都没有差,所以坚持原来的选择,打死不换。

究竟换比较有利?还是换不换都没差?我们运用树状图分析:

蒙提霍尔问题(一)决胜21点

由贝氏定理得知:

如果在不换门的情形下,赢得新车的机率是 \(\displaystyle \frac{1/6}{1/6+1/3}=\frac{1}{3}\approx 33.3\%\);

如果在换门的情形下,赢得新车的机率是 \(\displaystyle \frac{1/3}{1/6+1/3}=\frac{2}{3}\approx 66.7\%\)。

班的答案完全正确,但是直觉上机率 \(1/2\) 是怎幺回事?

蒙提霍尔问题(一)决胜21点

\(\displaystyle = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)

我们不可忽略的是,当主持人提供资讯并给予换门的机会时,

新车在剩下两道门后的机率其实是不相同的,分别为 \(1/3\) 和 \(2/3\),

即 \(P(\) 赢得新车|选择不换 \()=\displaystyle\frac{1}{3}\)、\(P(\) 赢得新车|选择换门 \()=\displaystyle\frac{2}{3}\),

要换才有优势!

透过上述讨论,换门确实是明智的选择,但是机率值也显示,不保证换门一定赢!毕竟,在还没开出结果之前,所有的可能都是可能。

连结:蒙提霍尔问题(二)请问玛丽莲


参考资料

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